Случайный процесс

Случа́йный проце́сс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ (E, \mathfrak{B}) }[/math] — измеримое пространство, [math]\displaystyle{ T }[/math] множество значений параметра [math]\displaystyle{ t }[/math]. Функция [math]\displaystyle{ \xi = \xi(t) }[/math] параметра [math]\displaystyle{ t \in T }[/math], значениями которой являются случайные величины [math]\displaystyle{ \xi(t) = \xi(\omega, t) }[/math] на пространстве элементарных событий [math]\displaystyle{ (\Omega, \mathfrak{A}, \mathbb{P}) }[/math] в фазовом пространстве [math]\displaystyle{ (E, \mathfrak{B}) }[/math], называется случайным процессом в фазовом пространстве [math]\displaystyle{ (E, \mathfrak{B}) }[/math].

Терминология

Используемые в области исследований  и прикладного применения случайных процессов классификация и терминология являются нестрогими. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция». В зависимости от вида множества [math]\displaystyle{ T }[/math] часто применяются следующие термины.

• Если [math]\displaystyle{ T \subset \mathbb{R} }[/math], то параметр [math]\displaystyle{ t \in T }[/math] может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция [math]\displaystyle{ \{X_t\} }[/math] называется случайным процессом. Если множество [math]\displaystyle{ T }[/math] дискретно, например [math]\displaystyle{ T \subset \mathbb{N} }[/math], то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.

• Если [math]\displaystyle{ T \subset \mathbb{R}^n }[/math], где [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], то параметр [math]\displaystyle{ t \in T }[/math] может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Основные сведения

Основной источник:

Всевозможные совместные распределения вероятностей значений [math]\displaystyle{ \xi(t_1), ..., \xi(t_n), t_1, ..., t_n \in T }[/math]:

[math]\displaystyle{ P_{t_1} , ..., _{t_n} (B_1,...B_n) = P \left\{\xi(t_1)\in B_1,..., \xi(t_n)\in B_n \right\} (B_1,...B_n \in \mathfrak{B}) }[/math]

называются конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса [math]\displaystyle{ \xi = \xi(t) }[/math].
Случайные процессы [math]\displaystyle{ \xi= \xi(t) }[/math] и [math]\displaystyle{ \eta= \eta(t) }[/math], принимающие значение в фазовом пространстве [math]\displaystyle{ (E,\mathfrak{B}) }[/math] называются эквивалентными, если при любом [math]\displaystyle{ t\in T }[/math] эквивалентны соответствующие значения [math]\displaystyle{ \xi(t)= \xi(\omega, t) }[/math] и [math]\displaystyle{ \eta(t)= \eta(\omega, t) }[/math].

При каждом фиксированном [math]\displaystyle{ \omega \in \Omega }[/math] функция [math]\displaystyle{ \xi(t)= \xi(\omega, t) }[/math] параметра [math]\displaystyle{ t }[/math] со значениями в фазовом пространстве [math]\displaystyle{ (E, \mathfrak{B}) }[/math] называется реализацией или траекто́рией случайного процесса [math]\displaystyle{ \xi= \xi(t) }[/math]. Случайный процесс [math]\displaystyle{ \xi= \xi(t) }[/math] называется непосредственно заданным, если каждый элементарный исход описывается соответствующей траекторией [math]\displaystyle{ x = x(t) }[/math] в функциональном пространстве [math]\displaystyle{ E = E^T }[/math] всех функций на множестве [math]\displaystyle{ T }[/math] со значениями в фазовом пространстве [math]\displaystyle{ (E, \mathfrak{B}) }[/math] ; точнее, если [math]\displaystyle{ \Omega = X }[/math] и [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]-алгебра [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] порождается всевозможными цилиндрическими множествами [math]\displaystyle{ {x(t_1)\in B_1, ..., x(t_n) \in B_n} }[/math], где [math]\displaystyle{ t_1, ..., t_n \in T }[/math] и [math]\displaystyle{ B_1,...B_n \in \mathfrak{B}) }[/math], а значения [math]\displaystyle{ \xi(t) = \xi(x, t) }[/math] имеют вид [math]\displaystyle{ \xi(x, t) = x(t) }[/math], [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]. Любому случайному процессу можно поставить в соответствие непосредственно заданный случайный процесс с теми же самыми конечномерный распределениями. Для каждого согласованного семейства конечномерных распределений вероятностей [math]\displaystyle{ P_{t_1} , ..., _{t_n} (B_1,...B_n) }[/math] ([math]\displaystyle{ t_1, ..., t_n \in T, B_1,...B_n \in \mathfrak{B} }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ P_t = P_t(B), t\in T }[/math], являются плотными мерами в фазовом топологическом пространстве [math]\displaystyle{ (E, \mathfrak{B}) }[/math], существует непосредственно заданный случайный процесс [math]\displaystyle{ \xi= \xi(t) }[/math] с такими же конечномерными распределениями вероятностей.

Ковариационная функция. Пусть [math]\displaystyle{ \xi= \xi(t) }[/math] действительный или комплексный случайный процесс на множестве [math]\displaystyle{ T }[/math], имеющий вторые моменты: [math]\displaystyle{ E|\xi(t)|^2 \lt \infty }[/math]. Значения случайного процесса [math]\displaystyle{ \xi= \xi(t) }[/math] можно рассматривать как элементы гильбертова пространства [math]\displaystyle{ L^2(\Omega) }[/math] — пространства всех случайных величин [math]\displaystyle{ \eta }[/math], [math]\displaystyle{ E|\eta(t)|^2 \lt \infty }[/math], со скалярным произведением

[math]\displaystyle{ ({\eta}_1, {\eta}_2) = E{\eta}_1 \overline{\eta}_2 }[/math].

Важнейшими характеристиками такого случайного процесса [math]\displaystyle{ \xi(t) }[/math] являются его математическое ожидание

[math]\displaystyle{ A(t) = E \xi(t) = ( \xi(t), 1) }[/math]

и ковариационная функция

[math]\displaystyle{ B(s, t) = E{\xi(s)} \overline{\xi(t)} = (\xi(s), \xi(t)) }[/math].

Вместо ковариационной функции может применятся корреляционная функция [math]\displaystyle{ B(s, t) = E{\xi(s)} \overline{\xi(t)} - A(s)\overline{A(t)} }[/math], являющуюся ковариационной функцией процесса [math]\displaystyle{ \xi(t) - A(t) }[/math] с нулевым математическим ожиданием.
При равенстве аргументов ([math]\displaystyle{ s = t }[/math]) корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса

[math]\displaystyle{ B(s, s) = E(\xi(s) - A(s))( \overline{\xi(s)-A(s)}) = D(s) }[/math].

Функция [math]\displaystyle{ B(s, t) }[/math] двух переменных [math]\displaystyle{ s }[/math] и [math]\displaystyle{ t }[/math] является ковариационной функцией некоторого случайного процесса [math]\displaystyle{ \xi(t) }[/math], [math]\displaystyle{ E|\xi(t)|^2 \lt \infty }[/math], тогда и только тогда, когда она для всех [math]\displaystyle{ n= 1, 2, ... }[/math] удовлетворяет следующему условию положительной определенности:

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^n{B(t_k, t_j)c_k}\overline{c_j }\geqslant 0 }[/math]

для любых [math]\displaystyle{ t_1, t_2, ... t_n\in T }[/math] и любых комплексных чисел [math]\displaystyle{ c_1, c_2..., c_n }[/math].

Классификация

• Случайный процесс [math]\displaystyle{ X(t) }[/math] называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени [math]\displaystyle{ \;t_1, t_2, \ldots }[/math], число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
• Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени [math]\displaystyle{ \;t_1, t_2, \ldots, t_n }[/math], но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом.
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора [math]\displaystyle{ t_1, t_2, \ldots, t_n }[/math], где [math]\displaystyle{ n\gt 2 }[/math], а [math]\displaystyle{ t_1\lt t_2\lt \ldots\lt t_n }[/math], случайные величины [math]\displaystyle{ (X_{t_2}-X_{t_1}) }[/math], [math]\displaystyle{ (X_{t_3}-X_{t_2}) }[/math], [math]\displaystyle{ \ldots }[/math], [math]\displaystyle{ (X_{t_n}-X_{t_{n-1}}) }[/math] независимы в совокупности.
• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.
• Ветвящийся случайный процесс может описывать явления, связанные с размножением, делением или превращениями объектов.

Примеры

• [math]\displaystyle{ \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} }[/math], где [math]\displaystyle{ \;X_i \sim \mathrm{N}(0,1) }[/math] называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
• Пусть [math]\displaystyle{ f\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math], и [math]\displaystyle{ Y }[/math] — случайная величина. Тогда

[math]\displaystyle{ X_t(\omega) = f(t) \cdot Y(\omega) }[/math]

является случайным процессом.

См. также

• Случайная величина
• Цепь Маркова
• Марковский процесс
• Немарковский процесс

Литература

• Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
• Баскаков С. И. Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.
• Натан А. А., Горбачёв О. Г., Гуз С. А. Основы теории случайных процессов : учеб. пособие по курсу «Случайные процессы» — М.: МЗ Пресс — МФТИ, 2003. — 168 с. ISBN 5-94073-055-8.
• Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. — М.: Наука, 1991. — 384 с. — ISBN 5-02-014125-9.
• Куликов Е. И. Методы измерения случайных процессов. — М.: Радио и связь, 1986. — 272 с.
• Ралф Деч. Нелинейные преобразования случайных процессов. — М.: Советское радио, 19656. — 206 с.